Um outro modo de considerar a não linearidade física é expressão de Branson para vigas, que considera um valor médio para o momento de inércia do elemento da estrutura.
Quando um elemento estrutural é solicitado pelas ações atuantes de tal forma que não ocorram fissurações em sua seção transversal, ao longo do seu comprimento (no caso de elementos lineares), afirmamos que este elemento está trabalhando no estádio I. Neste caso, para efeito de cálculo do momento de inércia à flexão de um elemento estrutural de concreto
armado, primeiramente faz-se uma homogeneização da seção transversal do elemento, relacionando-se as áreas de aço e de concreto através da Equação
Ac.Ec = As.Es
Onde:
Ac, As: áreas das seções transversais do concreto e do aço, respectivamente;
Ec, Es: módulos de elasticidade longitudinal do concreto e do aço,
respectivamente.

Define-se então, αE como a relação entre os módulos de elasticidade do aço e de deformabilidade do concreto. Destarte, a Equaçãoacima pode ser representada da seguinte forma:
Ac. αE = As

Uma vez homogenizada a seção transversal do elemento estrutural utiliza-se a definição clássica de momento de inércia para o cálculo do mesmo no estádio I . A inércia da seção transversal, quando multiplicada pelo módulo de elasticidade do concreto, fornece a rigidez à flexão do elemento.
O próximo passo da análise consiste na determinação do momento de fissuração do elemento de concreto. Conforme o CEB e também Leonhardt (1971), o valor do momento de fissuração Mr é dado pela Equação a seguir
Mr W1 f t

 Onde:
         W1: módulo de resistência da seção transversal considerando a armadura, sendo seu valor numérico igual à divisão do momento de inércia da seção transversal pela distância da borda da seção ao eixo que passa pelo centro de gravidade da mesma;
         ft: resistência à tração do concreto na flexão.
 Pode-se utilizar também a expressão da NBR6118:

Sendo alfa = 1,2 para seções em “T” e 1,5 para seções retangulares.

Yt = distância centro de gravidade até fibra tracionada.

Ic – Inércia seção bruta.

Fctm – Concreto a tração

Quando o valor do momento de fissuração é superado pelo momento atuante em uma determinada seção do elemento estrutural e, conseqüentemente, surgem as fissuras, então o referido elemento, na região da seção fissurada, estará trabalhando no estádio II, o que significa que as tensões de tração serão resistidas apenas pela armadura, porém, mantém-se uma relação linear entre a tensão de compressão e a deformação do concreto na região comprimida. Para se obter valores intermediários , é possível utilizar-se de funções interpoladoras. Neste trabalho, foi utilizada para vigas a expressão sugerida por Branson (1968):


pode-se concluir que a inércia tende a diminuir com ou aumento do momento fletor. Esta conclusão é coerente com o fato de que o aumento do esforço atuante tende a aumentar a fissuração ao longo do elemento estrutural.
Para calcular a NLI, efetua-se a análise estrutural utilizando- se a técnica do carregamento incremental, geralmente 1/10 da carga.

Cabe salientar que, quando a força normal em um determinado elemento apresenta valores significativos em relação ao momento fletor resultante das demais ações atuantes (caso de Pilares), a correção do momento de inércia segundo a expressão de Branson não é o método mais indicado. Nestes elementos pode-se optar pela redução do (E) para 0.7*(E), conforme a NB16118, a partir de uma determinada relação entre N e M.

Até o esforço normal ser menor que(x) vezes o Momento fletor, corrigi-se pela formula de Branson, a partir deste valor, retorna-se a inércia ao estadio I e altera-se o (E) conforme sugerido 0.8 * E NB16118. O valor a partir de que proporção de N e M é significativo foi arbitrado em 2.5, mas pode ser alterado de modo online na execução da análise NLI. Note que o valor do (E) e só alterado naquela barra que ultrapassa o momento de fissuração e a relação N (x) * M, todas as outras que não se encontram nesta situação não são alteradas.

ESTADIO I e ESTADIO II

No estádio I, considera-se o concreto resistindo à tração, e que sempre há uma relação linear entre a tensão e a deformação específica para os pontos da seção transversal. A figura abaixo ilustra a relação entre as tensões atuantes e a deformação específica na seção transversal de um elemento estrutural trabalhando no estádio I.

Neste estádio, o momento de inércia do elemento estrutural pode ser calculado utilizando-se a definição usual do momento de inércia.
Conforme Carvalho (1994), a seção estará trabalhando no estádio II puro ou IIo, quando estiver atuando na mesma um momento fletor maior que o momento de fissuração. Deve se considerar ainda que:

1 A distribuição das tensões de compressão no concreto se dará de forma triangular;

2 O esforço à tração será resistido apenas pela armadura abaixo da linha neutra, não se considerando, portanto, o concreto trabalhando à tração;

3 Tanto o aço quanto o concreto irão trabalhar sem atingir o “escoamento”, ou a plastificação.

Sendo assim, em atuando um momento M>Mr, o equilíbrio na seção transversal do elemento estrutural será obtido igualando-se as forças resultantes oriundas das tensões de compressão no concreto e/ou na armadura comprimida com as forças resultantes originadas das tensões de tração na armadura tracionada. Dessa forma, é possível calcular a posição da linha neutra e proceder ao cálculo do momento de inércia da seção no estádio II puro.

Similarmente ao estádio I, a rigidez à flexão no estádio II pode ser calculada fazendo-se o produto do módulo de elasticidade do concreto pelo momento de inércia no estádio II.

As considerações para análise de um elemento estrutural no estádio II puro estão representadas na figura A.2, para uma elemento de seção transversal tipo “T”.

A posição da linha neutra em um elemento estrutural de seção transversal do tipo “T” pode ser obtida através de uma equação de segundo grau (GHALI, 1986):

Se a seção transversal for retangular, é possível utilizar a mesma equação, apenas impondo que o valor de hf seja igual a zero.
Uma vez obtida a posição da linha neutra, procede-se o cálculo do momento de inércia no estádio II puro, dado pelas equações A.5, para quando a profundidade da linha neutra for inferior à espessura da mesa, xII < hf, e quando a profundidade for superior à espessura da mesa, xII > hf, respectivamente: